Попеленский М.Ю.

Рассмотрим линейную стационарную управляемую систему
$\dot x=Ax+Bu, \quad u(\cdot)\in U=\{u(\cdot)\in KC| u(t)\in \mathbb{R}^s\}.  (**)$
Здесь $x$ -- $n$-мерный вектор-столбец координат, описывающий состояние управляемого объекта, $u$ -- $s$-мерный вектор-столбец управляющих воздействий, $A$ -- постоянная матрица размерности ($n\times n$), $B$ -- постоянная матрица размерности ($n\times s$), $KC$ -- пространство векторных кусочно-непрерывных функций, $\mathbb{R}^s$ -- $s$-мерное пространство позиционных управлений.

Определение. Система (**) называется полностью управляемой, если ее можно перевести из любого начального состояния в любое конечное с помощью управления $u(\cdot)\in U$ за конечное время.

Определение. Матрица $W=(B,AB,\ldots,A^{n-1}B)$ называется грамианом управляемости.

Теорема. Для полной управляемости системы (**) необходимо и достаточно, чтобы $\rank W=n$.

Следствие. При $s=1$ критерий управляемости принимает вид:  $\det W \ne 0$.

Примечание. Для того, чтобы система (**) при $s=1$ была представима в виде одномерной управляемой системы, необходимо и достаточно, чтобы система была полностью управляемой.

Теорема. (О декомпозиции) Если система (**) не является полностью управляемой, то она представима в виде двух подсистем,
одна из которых полностью управляема в своем подпространстве, а другая является неуправляемой.