Попеленский М.Ю.

Рассмотрим линейную стационарную систему
$\dot x=Ax, \quad z=Hx.   (*)$

Здесь $x$ -- $n$-мерный вектор-столбец координат, описывающий
состояние системы, $z$ -- $m$-мерный вектор-столбец измерений (в
подавляющем большинстве случаев $m$), $A$ -- постоянная матрица
размерности ($n\times n$), $H$ -- постоянная матрица размерности
($m\times n$).

Определение.  Система (*) называется наблюдаемой в момент времени
$t$, если существует конечный момент времени $t_0$ такой, что можно
определить состояние системы $x(t)$ из наблюдения выходной функции
$z(\tau)$ на отрезке $[t_0,t]$.

Определение. Матрица
\(  H \\  HA \\  \ldots\\  HA^{n-1}  \right\)" alt="N=\left\(  H \\  HA \\  \ldots\\  HA^{n-1}  \right\)" src="https://copy.distant.msu.ru/filter/tex/pix.php/4f13ec7d2edea14f84371326b0cd1c8b.png" />$N=\left<span class="nolink">\(  H \\  HA \\  \ldots\\  HA^{n-1}  \right\)</span>$
называется грамианом наблюдаемости.

Теорема.

Для наблюдаемости системы (*) необходимо и достаточно,
чтобы $\rank N=n$.

Следствие.

При $m=1$ условие наблюдаемости принимает вид $\det N \ne 0$.


Определение.
Канонической формой Фробениуса по наблюдению называется следующая система:
$\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}\dot \xi_1=\alpha_n \xi_1+\xi_2,\\\dot \xi_2=\alpha_{n-1} \xi_1+\xi_3,\\\dot \xi_3=\alpha_{n-2} \xi_1+\xi_4,\\\ldots\\\dot \xi_{n-1}=\alpha_2 \xi_1+\xi_n,\\\dot \xi_n=\alpha_1 \xi_1,\end{array}\right.\\z=\xi_1\end{array}$
или в матричном виде:
$\begin{array}{l}\dot \xi=A_{\xi}\xi\\z=h^T\xi,\end{array}\mbox{где}\quad A_{\xi}=\begin{pmatrix}  \alpha_{n}   &      1 &      0 & \ldots &      0 \\  \alpha_{n-1} &      0 &      1 & \ldots &      0 \\  \vdots       & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\  \alpha_{2}   &      0 &      0 & \ldots &      1 \\  \alpha_{1}   &      0 &      0 & \ldots &      0 \\\end{pmatrix},\quad h=\begin{pmatrix} 1\\0\\ \vdots\\0 \end{pmatrix}.$
 

Теорема.

Система (*) наблюдаема тогда и только тогда, когда ее
можно записать в канонической форме Фробениуса по наблюдению.

Теорема.

(О декомпозиции) Если система (*) не является
полностью наблюдаемой, то она представима в виде двух подсистем,
одна из которых полностью наблюдаема в своем подпространстве, а
другая является ненаблюдаемой.